乗法的インターリビング距離に関するノート

$I$ を $\mathbb{R}$ 上の任意の区間とし，任意のフィルトレーション $\mathcal{F} = \Set{ F_{\alpha} }_{\alpha \in I}$ に対して，

\begin{align*} \left( \log F \right)_{\alpha} = F_{e^\alpha}, \quad \log \mathcal{F} = \Set{ \left( \log F \right)_{\alpha} }_{\alpha \in I} \end{align*}

と定義する。

(Proposition 1) $\mathcal{F} = \Set{ F_\alpha }_{\alpha \in I}$ と $\mathcal{G} = \Set{ G_\alpha }_{\alpha \in I}$ をフィルトレーションとする。このとき，任意の $\alpha \in I$ および $c > 0$ に対して， $F_\alpha \subset G_{c \alpha}$ が成り立つことと $\left( \log F \right)_{\log \alpha} \subset \left( \log G \right)_{\log \alpha + \log c}$ が成り立つことは同値である。

(Proof) $F_\alpha \subset G_{c \alpha}$ が成り立つと仮定する。このとき， $\left( \log F \right)_{\log \alpha} \subset \left( \log F \right)_{\log c\alpha} = \left( \log F \right)_{\log c + \log \alpha}$ が成り立つ。逆に， $\left( \log F \right)_{\log \alpha} \subset \left( \log G \right)_{\log \alpha + \log c}$ が成り立つと仮定する。このとき， $\left( \log F \right)_{\log \alpha} \subset \left( \log G \right)_{\log c\alpha}$ が成り立つから， $F_\alpha \subset G_{c \alpha}$ が得られる。

任意のフィルトレーション $\mathcal{F}$ に対して， $\mathrm{dgm} \mathcal{F}$ を $\mathcal{F}$ から定まるパーシステンス図とし，

\begin{align*} \log \mathrm{dgm} \mathcal{F} = \Set{ \left( \log b, \log d \right) | \left( b, d \right) \in \mathrm{dgm} \mathcal{F} } \end{align*}

と定める。また， $\mathcal{H}\left( \mathcal{F} \right)$ をフィルトレーション $\mathcal{F}$ から定まるパーシステントホモロジーとする。さらに，ボトルネック距離 $d_B$ とインターリービング距離 $d_I$ に対して，

\begin{align*} d^\times_B \left( \mathrm{dgm} \mathcal{F}, \mathrm{dgm} \mathcal{G} \right) &= d_B \left( \log \mathrm{dgm} \mathcal{F}, \log \mathrm{dgm} \mathcal{G} \right)\\ d^\times_I \left( \mathcal{H}\left( \mathcal{F} \right), \mathcal{H}\left( \mathcal{G} \right) \right) &= d_I \left( \mathcal{H}\left( \log \mathcal{F} \right), \mathcal{H}\left( \log \mathcal{G} \right) \right) \end{align*}

と定める。

(Theorem 1) 任意のフィルトレーション $\mathcal{F}$ および $\mathcal{G}$ に対して，

\begin{align*} d^\times_B \left( \mathcal{F}, \mathcal{G} \right) \leq d^\times_I \left( \mathcal{F}, \mathcal{G} \right) \end{align*}

が成り立つ。

(Proof)